Теоремата на Байс е математическа формула за определяне на условната вероятност. Във финансите теоремата на Bayes може да се използва за оценка на риска от заемане на пари на потенциални кредитополучатели. Приложенията на теоремата на Байс са широко разпространени и не се ограничават до финансовата област. Нека тогава да видим какво представлява теоремата на Байс, как се изчислява и как да я приложим чрез няколко примера.
Какво е теорема на Бейс
Теоремата на Байс, кръстена на британския математик от 18 век Томас Байс, е математическа формула за определяне на условна вероятност. Условната вероятност е вероятността да настъпи резултат, като се има предвид дали предишен резултат е настъпил при подобни обстоятелства. Теоремата на Bayes позволява съществуващите прогнози или теории да бъдат преразгледани (актуализиране на вероятностите) въз основа на нови или допълнителни доказателства. Във финансите теоремата на Bayes може да се използва за оценка на риска от заемане на пари на потенциални кредитополучатели. Теоремата се нарича също правило на Бейс или закон на Бейс и е в основата на областта на байесовската статистика.
За какво е теоремата на Байс?
Приложенията на теоремата на Байс са широко разпространени и не се ограничават до финансовата област. Например, теоремата на Bayes може да се използва за определяне на точността на резултатите от медицински тестове, като се вземе предвид вероятността дадено лице да има заболяване и общата точност на теста. Теоремата на Байс се основава на включването на предходни вероятностни разпределения за генериране на последващи вероятности. В байесовия статистически извод предварителната вероятност е вероятността дадено събитие да се случи, преди да бъдат събрани нови данни. С други думи, той представлява най-добрата рационална оценка на вероятността за конкретен резултат въз основа на настоящите познания преди извършването на експеримент.
Каква е формулата за теоремата на Байс?
Задната вероятност е преразгледаната вероятност дадено събитие да се случи след като се вземе предвид нова информация. Задната вероятност се изчислява чрез актуализиране на предходната вероятност с помощта на теоремата на Bayes. От гледна точка на статистиката, постериорната вероятност е вероятността събитие А да се случи, ако се е случило събитие B. По този начин теоремата на Бейс дава вероятността дадено събитие да се случи въз основа на нова информация, която е или може да бъде свързана с това събитие . Формулата може да се използва и за определяне как вероятността за настъпване на събитие може да бъде повлияна от хипотетична нова информация, ако приемем, че новата информация се окаже вярна.
Обяснение на формулата на теоремата на Байс.
Примери за използване на теоремата на Байс
По-долу ще представя два примера за теоремата на Байс, в които първият пример прилага теоремата на Байс към тестове с дрегер. Вторият пример показва как формулата може да бъде извлечена в пример за инвестиране в акции с помощта на Nvidia (NVDA).
Числен пример на теоремата на Байс
Като числен пример, нека си представим, че има тест за алкохол, който е 98% точен, което означава, че 98% от времето показва истински положителен резултат за някой, който е пил алкохол, и 98% от времето показва истински отрицателен резултат за потребители без алкохол. След това нека приемем, че 0,5% от хората консумират алкохол. Ако произволно избрано лице даде положителен тест за алкохол, може да се направи следното изчисление, за да се определи вероятността лицето действително да употребява алкохол.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX%.
Теоремата на Bayes показва, че дори ако дадено лице е дало положителен тест при този сценарий, има приблизително 80% шанс той да не консумира алкохол.
Изведете формулата на теоремата на Бейс
Теоремата на Байс следва просто от аксиомите на условната вероятност, която е вероятността за събитие, като се има предвид, че друго събитие се е случило. Например, прост вероятностен въпрос може да бъде: "Каква е вероятността цената на акциите на Nvidia да падне?" Условната вероятност прави този въпрос една стъпка напред: „Каква е вероятността цената на акциите на NVDA да падне, като се има предвид, че индексът Nasdaq (NDAQ) падна по-рано?“ Условната вероятност за A при условие, че B се е случило, може да се изрази като: Ако A е: „Цената на NVDA пада“, тогава P(NVDA) е вероятността NVDA да пада; и B е: „NDAQ вече е намалял“, а P(NDAQ) е вероятността NDAQ да е намалял; тогава изразът на условната вероятност се чете като „вероятността NVDA да падне при спад в NDAQ е равна на вероятността цената на NVDA да падне и NDAQ да падне над вероятността от спад в индекса NDAQ.“
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA и NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA и NDAQ) е вероятността A и B да се появят. Също така е същото като вероятността да се случи А, умножена по вероятността да се случи Б, като се има предвид, че А се случи, изразена като P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). Фактът, че тези два израза са равни, води до теоремата на Байс, която е написана като
да, P(NVDA и NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
тогава P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Където P(NVDA) и P(NDAQ) са вероятностите Nvidia и Nasdaq да паднат, без да се вземат предвид взаимно. Формулата обяснява връзката между вероятността на хипотезата, преди да се видят доказателствата, че P(NVDA), и вероятността на хипотезата след получаване на доказателствата P(NVDA|NDAQ), дадена хипотеза за Nvidia, предвид доказателствата в Nasdaq.